Kama­ta je nadok­na­da za posuđeni novac. Kama­ta je ovis­na o izno­su posuđenog nov­ca i vre­menu posudbe. Banke i šte­dion­ice isplaću­ju kamate na štedne uloge građana i dru­ga ula­gan­ja. Štedne uloge i dru­ga ula­gan­ja banke koriste za davan­je kratko­ročnih ili dugoročnih kred­i­ta (npr. stam­beni kred­it) i za njih naplaću­ju kamate.

Može se razmišl­jati da građanin koji šte­di posuđu­je novac ban­ci po nekoj kamati, dok ban­ka koja daje kred­it posuđu­je novac građan­inu po nekoj kamati.

Autor ovog tek­s­ta nije finan­cijs­ki sav­jet­nik. U tek­stu pojašen­jeni izračun ne smi­jete koris­ti­ti za donešen­je finan­cijskih i drugih važnih odlu­ka, već se morate sav­je­to­vati s osob­n­im bankarom, knjigov­ođom, porezn­im sav­jet­nikom ili dru­gom osobom ovlašenom sav­je­to­vati o stvari­ma za koje ste evt. vršili izračune.

Kamatna stopa

Kama­ta se najčešće izraža­va kroz kamat­nu stopu. Godišn­ja kamat­na stopa p znači da se na svak­ih posuđenih 100 kn dobi­va p kuna kama­ta u godi­ni dana. Ako je kamat­na stopa 10 %, onda se posud­ba iznosa od 100 kn na god­inu dana nadok­nađu­je kam­atom od 10 kn. U gov­oru se pod riječju kama­ta često mis­li na kamat­nu stopu, no ispravno je reći da je kama­ta 10 kn, dok je kamat­na stopa 10 %.

Iako je uobiča­jeno da se kama­ta isplaću­je na kra­ju vre­me­na posudbe, ne pos­to­ji nikakav razlog zaš­to se kama­ta, poš­to se radi samo o nekoj vrsti naknade, ne bi smjela plaćati u bilo kojem trenutku, pa tako i na samom početku vre­me­na posudbe (npr. naknadu za parki­ran­je plaćamo čim se parki­ramo).

Općen­i­to, poš­to neki iznos u ima

    \[\frac{u}{100}\]

puta po 100 kuna, to će novac posuđen po godišn­joj kamat­noj stopi p donijeti

    \[\frac{u}{100}\cdot{p}\]

kuna u godi­ni dana, odnos­no

    \[\frac{u}{100}\cdot{p}\cdot{g}\]

kuna u g god­i­na.

Ista jed­nadž­ba vri­je­di i za bilo koji dru­gi peri­od posudbe. Prim­jerice, mje­seč­na kamat­na stopa p znači da se na svak­ih posuđenih 100 kn dobi­va p kuna kama­ta u mjesec dana. Neki iznos u će donijeti

    \[\frac{u}{100}\cdot{p}\]

kuna u mjesec dana, odnos­no

    \[\frac{u}{100}\cdot{p}\cdot{g}\]

kuna u g mjese­ci.

Kada se određu­je koliko su visoke kamate, obavezno val­ja obrati­ti pažn­ju na vri­jeme posudbe — godišn­ja kamat­na stopa od 10 % je znača­jno niža kamat­na stopa od mje­sečne kamatne stope od 10 %.

Račun kamata na kamate

Kamate na šted­nju koje pristignu do kra­ja tekuće godine šte­dion­ice domet­nu na ušteđev­inu i od sli­jedeće se godine obraču­nava­ju kamate i na te kamate. Rente i otplate zaj­mo­va se također raču­na­ju na ovakav način.

Neka se u šte­dion­icu položi neki šted­ni iznos u0, a uz godišn­ju kamat­nu stopu p. Na koliko će, zbog kama­ta, taj šted­ni iznos narasti tijekom god­i­na?

Uz godišn­ju kamat­nu stopu p i počet­ni iznos u0, kama­ta će nakon prve godine dana šted­nje, k0, iznosi­ti

    \[{k_0}=\frac{u_0}{100}\cdot{p}.\]

Na početku druge godine će se oka­maći­vati izvorni iznos u0 na koji je domet­nu­ta kama­ta od prve godine k0, što daje ukup­no u1 kao iznos na kra­ju prve i početku druge godine

    \begin{align*}{u_1}&={u_0}+{k_0}\\&={u_0}+\frac{u_0}{100}\cdot{p}\\&={u_0}(1+\frac{p}{100})\\&={u_0}\cdot{r}.\end{align*}

Na početku treće godine će se oka­maći­vati iznos s počet­ka druge godine na koji je domet­nu­ta kama­ta od druge godine k1, što daje ukup­no u2 kao iznos na kra­ju druge i početku treće godine. Raču­ni­ca je pot­puno ista:

    \begin{align*}{u_2}&={u_1}+{k_1}\\&={u_1}+\frac{u_1}{100}\cdot{p}\\&={u_1}(1+\frac{p}{100})\\&={u_1}\cdot{r}.\end{align*}

Jedi­no novo što se može prim­i­jen­i­ti na gorn­ji račun jest da se iznos s počet­ka druge godine izrazi kroz onaj izvorni počet­ni iznos kao

    \[{u_2}={u_1}\cdot{r}=({u_0}\cdot{r})\cdot{r}={u_0}\cdot{r^2}.\]

Pon­avl­jan­jem ovakvog pos­tup­ka iz godine u god­inu razotkri­va se prav­i­lo da će počet­ni iznos u0 kroz oka­maći­van­je kama­ta na kra­ju i-te godine iznosi­ti ui

    \[{u_i}={u_0}\cdot{r^i},\]

pri čemu je

    \[{r}=1+\frac{p}{100}.\]

Gorn­ja jed­nadž­ba pred­stavl­ja račun s kamata­ma na kamate, gdje je r kamat­ni fak­tor pomoću koje­ga se iz početnog iznosa može izraču­nati kon­ačni iznos. Jed­nadž­ba je određe­na koris­teći god­inu dana kao vri­jeme posudbe i kamat­nu stopu p kao kamat­nu stopu u godi­ni dana, ali pot­puno ista jed­nadž­ba vri­je­di i ako se koristi bilo koje dru­go vri­jeme posudbe i nje­mu odgov­o­ra­juća kamat­na stopa. Npr. za vri­jeme posudbe od 3 mjese­ca bi i = 1 označavao vri­jeme nakon prva 3 mjese­ca, i = 2 vri­jeme nakon sli­jedeća 3 mjese­ca itd., ali onda p mora biti kamat­na stopa u tri mjese­ca.

Izračun otplate kredita

Izračun otplate kred­i­ta ili hipoteke je zapra­vo jed­nos­ta­van. Ako od neko­ga posu­dite 100 kn po godišn­joj kamat­noj stopi od 10 %, onda morate na kra­ju godine svome vjerovniku vrati­ti posuđenih 100 kn, te mu isplati­ti 10 kn kama­ta — ukup­no, dak­le, 110 kn. Nigdje ne sto­ji, među­tim, da ne možete odmah ponovi­ti posud­bu po istim uvje­ti­ma, pa na kra­ju sli­jedeće godine pono­vo vrati­ti posuđenih 100 kn i 10 kn kama­ta — ukup­no 110 kn i u dru­goj godi­ni. Ako pogle­date dvi­je godine una­trag, vid­jet ćete da ste tijekom dvi­je godine raspo­la­gali s glavni­com od 100 kn, a da ste na naknade platili ukup­no 20 kn kamate.

Kontinuirano ukamaćivanje
Kontinuirano ukamaćivanje Foto: Hen­rik Jon­s­son Graph­ic Design (istockphoto.com).

U stvarnos­ti se među­tim, od bana­ka posuđu­ju znat­no veći iznosi. Malo je vjero­jat­no da si bilo tko, pa radi­lo se i  o ban­ci, može pri­ušti­ti da nekome posu­di 100 000 eura, a da prit­om tijekom 30 god­i­na dobi­ja samo kamate, dok će mu posuđeni veli­ki iznos biti vraćen tek nakon 30 god­i­na. Sto­ga se u prak­si otpla­ta kred­i­ta ili hipoteke ugo­vara tako da se uz isplatu kamate, poma­lo vraća i posuđeni novac. Ipak, i dal­je može­mo prim­i­jen­i­ti gore opisani način razmišl­jan­ja u kojem na kra­ju godine vraćamo cjelokup­ni posuđeni iznos, ali ga onda odmah pono­vo posuđu­je­mo — samo uz jed­nu raz­liku: umjesto da stvarno posuđu­je­mo cjelokup­nu glavnicu, svake sli­jedeće godine posuđu­je­mo neš­to man­ji iznos. Tako složeni račun više­godišn­jih kama­ta može­mo svesti na niz poje­d­i­načnih posud­bi, jed­nos­tavnih za raču­nan­je. Sli­je­di prim­jer.

Neka ste posudili 1000 kn po godišn­joj kamat­noj stopi od 10 %. Neka ste ugov­o­rili da ćete, uz isplatu kama­ta, svake godine vraćati ili otplaći­vati po 200 kn od posuđenog iznosa. Odmah je jas­no da ćete posuđenih 1000 kn vraćati 5 god­i­na, u 5 otpla­ta od po 200 kuna. Situaci­ju može­mo raz­ma­trati ovako:

  1. Na kra­ju prve godine plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 1000 kn, dak­le 100 kuna. Ujed­no vraćate cijeli iznos od 1000 kn, ali odmah posuđu­jete 800 kn na peri­od od još god­inu dana (efek­tivno ste vratili prvih 200 kn od posuđenih 1000 kuna).
  2. Na kra­ju druge godine plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 800 kn, dak­le 80 kuna. Ujed­no vraćate cijeli iznos od 800 kn, ali odmah posuđu­jete 600 kn na peri­od od još god­inu dana (efek­tivno ste vratili sli­jedeći obrok od 200 kn).
  3. Na kra­ju treće godine plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 600 kn, dak­le 60 kn. Ujed­no vraćate cijeli iznos od 600 kn, ali odmah posuđu­jete 400 kn na peri­od od još god­inu dana.
  4. Na kra­ju četvrte godine plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 400 kn, dak­le 40 kn. Ujed­no vraćate cijeli iznos od 400 kn, ali odmah posuđu­jete 200 kn na peri­od od još god­inu dana.
  5. Na kra­ju pete godine plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 200 kn, dak­le 20 kn. Ujed­no vraćate cijeli posuđeni iznos od 200 kn, tj. obavl­jate posljed­nju od 5 otpla­ta duga.

Svake ste godine plaćali dva iznosa — iznos kamate i iznos otplate. Ta dva iznosa, iznos kamate i iznos otplate, se nazi­va­ju anu­itet. U gorn­jem prim­jeru su vaši anu­iteti bili:

  1. u prvoj godi­ni iznos kamate od 100 kn i iznos otplate od 200 kn daju anu­itet od 300 kn;
  2. u dru­goj godi­ni iznos kamate od 80 kn i iznos otplate od 200 kn daju anu­itet od 280 kn;
  3. u trećoj godi­ni iznos kamate od 60 kn i iznos otplate od 200 kn daju anu­itet od 260 kn;
  4. u četvr­toj godi­ni iznos kamate od 40 kn i iznos otplate od 200 kn daju anu­itet od 240 kn;
  5. u petoj godi­ni iznos kamate od 20 kn i iznos otplate od 200 kn daju anu­itet od 220 kn;

Ukup­no ste, tijekom 5 god­i­na, otplatili posuđeni iznos u 5 rata po 200 kn = 1000 kn, te isplatili 100 + 80 + 60 + 40 + 20 kn = 300 kn u kamata­ma — ukup­no, kada se zbro­je svi anu­iteti, ban­ci ste dali 1300 kn.

Fiksni anuiteti

Uočite da se u prethod­nom prim­jeru iznos anu­ite­ta mijen­jao iz godine u god­inu — u prvoj je godi­ni bio najveći, a potom sve man­ji, dok je iznos otplate bio fik­san. Umjesto da ugov­orite fik­sni iznos otplate (200 kn), možete ugov­oriti fik­sni anu­itet. Upra­vo ovo je uobiča­jeni način otplate kred­i­ta i hipote­ka.

Pret­postavi­mo da vam ban­ka ponu­di da tijekom 5 god­i­na plaćate fik­sni anu­itet od 263,80 kn. I kod takvog izraču­na može­mo prim­jen­i­ti rani­ji jed­nos­ta­van način raču­na, samo što od anu­ite­ta prvo val­ja oduzeti iznos kama­ta, a tek ostatak odlazi na otplatu duga:

  1. Na kra­ju prve godine iz anu­ite­ta od 263,80 kn plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 1000 kn, dak­le 100 kn. S pre­ostal­im dijelom anu­ite­ta od 163,80 kn otplaću­jete dio duga, pa ste zapra­vo posudili 836,20 kn na peri­od od još god­inu dana.
  2. Na kra­ju druge godine iz anu­ite­ta od 263,80 kn plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 836,20 kn, dak­le 83,62 kn. S pre­ostal­im dijelom anu­ite­ta od 180,18 kn otplaću­jete dio duga, pa ste posudili 656,02 kn na peri­od od još god­inu dana.
  3. Na kra­ju treće godine iz anu­ite­ta od 263,80 kn plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 656,02 kn, dak­le 65,60 kn. S pre­ostal­im dijelom anu­ite­ta od 198,20 kn otplaću­jete dio duga, pa ste posudili 457,82 kn na peri­od od još god­inu dana.
  4. Na kra­ju četvre godine iz anu­ite­ta od 263,80 kn plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 457,82 kn, dak­le 45,78 kn. S pre­ostal­im dijelom anu­ite­ta od 218,02 kn otplaću­jete dio duga, pa ste posudili 239,80 kn na peri­od od još god­inu dana.
  5. Na kra­ju četvre godine iz anu­ite­ta od 263,80 kn plaćate 10 % kama­ta na u toj godi­ni posuđenih 239,80 kn, dak­le 23,98 kn. S pre­ostal­im dijelom anu­ite­ta od 239,82 kn otplaću­jete ostatak duga.

Tako ste, tijekom 5 god­i­na, ban­ci dali 5 puta po 263,80 kn, dak­le 1319 kn. Zbro­jite li poje­d­i­načne kamate, vid­jet ćete da ste isplatili 319 kn kama­ta.

Jeste li ste prim­jetili da pos­to­ji raz­li­ka od 19 kuna između prvog i dru­gog sce­nar­i­ja otplate? Uočite da ste u obad­va sce­nar­i­ja nakon prve godine platili jed­naku kamatu od 100 kn, ali ste u prvom sce­nar­i­ju otplatili 200 kn duga, dok ste u dru­gom sce­nar­i­ji dug uman­jili za samo 163,80 kn. Drugim riječi­ma, na početku druge godine ste u prvom sce­nar­i­ju zapra­vo posudili 800 kn, dok ste u dru­gom sce­nar­i­ju naprav­ili veću posud­bu od 836,20 kn. Ako prob­lem raz­ma­trate kao da na kra­ju svake godine, nakon otplate dijela duga, zapra­vo posuđu­jete ostatak duga na peri­od od jedne (sli­jedeće) godine otplate, onda raz­li­ka proi­zlazi iz čin­jenice da u prvom sce­nar­i­ju posuđu­jete man­je iznose, a u dru­gom sce­nar­i­ju veće. Kama­ta ovisi o vre­menu posudbe i izno­su posuđenog nov­ca — vri­jeme posudbe je isto u obad­va sce­nar­i­ja (iznosi jed­nu god­inu), dok se u dru­gom sce­nar­i­ju posuđu­je veći iznos nov­ca.

U don­joj su tabli­ci uspored­no prikazana obad­va nači­na otplate.

God­i­na Vri­jeme posudbe Fik­sna otpla­ta Fik­sni anu­itet
Posuđeni iznos Kama­ta Otpla­ta Anu­itet Posuđeni iznos Kama­ta Otpla­ta Anu­itet
1 1 god. 1000,00 100,00 200,00 300,00 1000,00 100,00 163,80 263,80
2 1 god. 800,00 80,00 200,00 280,00 836,20 83,62 180,18 263,80
3 1 god. 600,00 60,00 200,00 260,00 656,02 65,60 198,20 263,80
4 1 god. 400,00 40,00 200,00 240,00 457,82 45,78 218,02 263,80
5 1 god. 200,00 20,00 200,00 220,00 239,80 23,98 239,82 263,80
    0,00 300,00 1000,00 1300,00 -0,02* 319,00 1000,02* 1319,00

* Pogreš­ka od 2 lipe nas­ta­je zbog nepre­ciznos­ti zaokruži­van­ja na samo dvi­je dec­i­male. U stvarnos­ti bi posljed­n­ja otpla­ta napros­to mogla biti 2 lipe man­ja.

Kamate su u obad­va sce­nar­i­ja izraču­nate na isti način. Razlog zaš­to se otpla­ta kred­i­ta ugo­vara u fik­snim anu­ite­ti­ma, a ne u fik­snim iznosi­ma otplate jest u ujed­načenom opterećen­ju vaših redovi­tih pri­man­ja. U dru­gom sce­nar­i­ju je fik­sni anu­itet otpri­like jed­nak sred­njem anu­ite­tu (onom u 3. godi­ni otplate) prvog sce­nar­i­ja.

Poneka­da ćete čuti kako u početku otplate kred­i­ta veći iznos anu­ite­ta odlazi na kamate, a man­ji na samu otplatu kred­i­ta, tj. kako tijekom vre­me­na sve veći iznos anu­ite­ta odlazi na otplatu kred­i­ta. Raspis otplate u sluča­ju fik­snog anu­ite­ta pokazu­je što se točno pod time mis­li — kako se posuđeni iznos sman­ju­je, tako se sman­ju­je i kama­ta, pa je ostatak do uvi­jek istog anu­ite­ta sve veći.

Prikazani način raču­na je iden­tičan i u sluča­ju prom­jen­jivih kamat­nih stopa, samo se tre­ba sjeti­ti da se na kra­ju svakog peri­o­da vraća sav posuđeni novac, pa odmah potom isti novac posuđu­je na još jedan peri­od, ali uman­jen za iznos otplate. Nigdje ne sto­ji da kama­ta u sli­jedećem peri­o­du mora biti ista kao u prethod­nom.